6.3“实数的概念”教学设计

                           许春英

一、教材分析

本节课在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数范围扩充到实数范围。在中学阶段，大多数问题是在实数的范围内研究的，它是进一步学习二次根式、一元二次方程以及函数等知识的基础。无理数的引入，数系的扩展充满着对立和统一的辩证关系及分类思想，所以这节课不仅仅是完善学生的知识结构，而且还是培养学生想象能力，渗透数学思想，感受数学匀称美和统一美的有效载体，也是发展学生逻辑思维能力的重要内容。

二、学生情况分析

七年级学生求知欲强，思维活跃、敢于质疑。抽象思维能力得到了初步训练，在知识结构上已经经历数的前几次扩充，初步了解了常用的数形结合、类比、从特殊到一般等数学思想方法，同时这些学生自我学习、合作学习能力较弱。课堂上需要教师的有效引导。

三、教学目标分析

知识与技能:

1、了解无理数和实数的概念，

2、知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系，

数学思考：

渗透数形结合及分类的思想，培养从特殊到一般、具体到抽象的逻辑思维能力。

问题解决：

通过无理数的引入，培养学生发现、提出数学问题和分析、解决问题的能力，感受丰富的数学文化。

    情感、态度与价值观

通过无理数的引入，经历数系从有理数扩展到实数的过程，体验数学的应用价值和思维价值，更好的激发学习兴趣。

教学重难点

重点：

1、了解无理数和实数的概念；

2、知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。

难点：对无理数的认识。

二、教法、学法分析    

本节课采用问题导入引入新课，通过启发性讲授法，发现法、讨论法、师生互动等多种方法相结合的方法完成教学任务，达到教学目标。

本节课采用以学生自主探究、小组合作交流相结合，课堂上充分调动学生的积极性，启发学生进行观察、类比、分析，让参与到概念的建立，真正的让学生进行探究，突出学生教学主体的地位。

四、教学媒体设计

黑板，ppt课件.三角尺结合运用

五、教学过程设计

（一）需要产生无理数

   问题1 有理数包括整数和分数，如果将下列分数写成小数的形式，你有什么发现？

  3 ，  ， ， ， ，

师生活动：学生完成分数到小数的换算，观察小数的形式。教师逐步引导学生对小数点后数字的探究，让学生发现：任意一个分数一定都能写出有限小数或是无限循环小数的形式；进一步引导学生对整数的研究，让学生得出结论：整数可以看成小数点后是0的小数。最后总结：任何一个有理数都可以写成有限小数或是无限循环小数的形式；反过来，任何有限小数和无限循环小数也都是有理数。

[设计意图]：在学生已学习的有理数知识和经验基础上，让学生从探究活动开始，体会有理数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式。注重新旧知识的连贯性，使学生体会到学习的内容是融会贯通的，激发学生的求知欲。

（二）归纳认识无理数

问题2 你认为小数除了上述类型外，还会有什么类型？

师生活动：通过对数的归纳辨析，与有理数对照，师生共同归纳出前两节学过的一些平方根和立方根都是无限不循环小数，他们不同于有限小数和无限不循环小数，是一类不同于有理数的数，由此教师给出无理数的概念：无限不循环小数叫无理数，并指出π=3.141 592 65…也是无理数。像有理数一样，无理数也有正负之分，例如π是正无理数，—π是负无理数，进而给出实数的概念及实数的分类。

[设计意图]：贯穿抽象与具体相结合的数学教学原则，从具体到抽象，让学生发现曾经学过的无限不循环小数是不同于有理数的数，为引出无理数概念作准备。

问题3 因为非零有理数和无理数都有正负之分，那么你能类比有理数的分类方法，按大小关系对实数分类吗？

师生活动：教师在逐步引导时，启发学生类比有理数的分类，明确分类的基本原则：按照某个标准，不重不漏。学生独立思考后，小组讨论得到如下分类：

[设计意图]：贯穿严谨性与量力性相结合的数学教学原则，通过学生互相的讨论和交流，可以加深对无理数和实数的理解，同时让学生明确实数的分类可以有不同的方法，感悟分类思想的运用和数学思维的严谨性，初步形成对实数整体性的认识。

（三）深化理解无理数

问题4 我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？你能在数轴上找到表示无理数的点吗？

师生活动：学生独立思考后讨论交流，借助第6.1节的第一个探究栏目中，用两个面积为1的小正方形剪拼成一个面积为2的正方形，这个大正方形的边长就是小正方形的对角线的长，也就是根号2！所以只要在数轴上以小正方形的对角线为半径画弧，与数轴的两个交点分别表示正负根号2.

[设计意图]：注重数形结合思想的渗透，通过具体操作，让学生知道无理数也可以在数轴上表示。

问题5： 直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′对应的数是多少？

师生活动：教师参与并指导实际操作，指出O′对应的数为无理数π，所以它也可以用数轴上的点表示出来（由于学生知识水平的限制，他们不可能也没有必要将所有无理数都用数轴上的点表示出来。解决了问题4,5后，给出实数与数轴上的点是一一对应的结论。

（四）巩固应用无理数

1．下列实数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

 3.14 ， 0 ， π , 0.010010001…

有理数集合{ … }

无理数集合{ … }

师生活动：由抽象回到具体，学生根据有关概念进行判断。

[设计意图]：对有关概念进行辨析。

2．判断正误，并说明理由。

（1）无理数都是无限小数；

（2）实数包括正实数、0、负实数；

（3）不带根号的数都是有理数

（4）所以有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所有的点都表示 有理数。

师生活动：学生根据对有关概念进行辨析。

[设计意图]：贯穿巩固与发展相结合的数学教学原则，进一步启发学生对有关概念进行辨析。

（五）系统升华无理数

1．师生一起回顾本节课所学内容，并请学生构建数系扩充结构图：

[设计意图]：力求使学生形成组织合理的知识结构，让学生自己对本节课知识进行梳理，构建知识结构图，活跃了课堂气氛，理清了知识脉络，强化了重点，进一步落实相关概念。

2.通过本课的学习你还有哪些认识和体会？

[设计意图]：通过发散性问题引导学生从过程与方法和情感价值观等方面对本课学习进行反思和总结。

3．布置作业，巩固新知

必做题：选做题：

[设计意图]：考虑到学生客观存在的差异性，在布置作业时关注不同层次的学生对本节知识的掌握情况，我布置必做题和选做题，体现分层次教学，培养了同学们发散思维的能力。