对数学概念教学的思考

                   万黎明工作室  孙丽静团队  张剑辉

2019年河北省中考数学第19题：

19．（4分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．

（1）A，B间的距离为　   　km；

（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为　   　km．

此题由点的坐标确定平面直角坐标系，属于逆向思维的考察，斜着放置的平面直角坐标系打破了学生的思维惯性，渗透给老师们一个信息：讲授概念时一定要将其蕴含的思想方法讲透，才能应对多变的中考。平面直角坐标系、亦或是数轴等概念教学应该解决的。今天以此开篇谈谈我对概念教学的理解和思考。

一、  数学概念教学与数学核心素养

数学概念是思维的基本单位，是数学逻辑的起点，是学生认知的基础，是数学教学的核心。而数学学科素养的核心部分是数学抽象、逻辑推理、数学建模，数学概念与数学核心素养有着密不可分的联系，然而单从我的教学经历看，曾经自己在实际教学中，并没有有意识对概念教学多加关注，而是把重点放在概念的应用上，因此南辕北辙。正如章建跃老师特别强调的：教师对“内容所反映的数学思想方法”的理解，决定了教学所能达到的水平和效果。那么教师对概念及概念隐含的数学思想方法、数学核心素养的理解决定了概念教学所达到的水平和效果。如何理解数学概念、如何理解学生对概念的认知、如何理解概念的教学，如何放大概念教学的教学价值，让概念教学助力学生成长，让核心素养落地生根？按照章老师的“三个理解”我谈谈浅显所学。

二、  对数学概念的理解

按照卜以楼《生长数学》中对概念教学的主张中提出：数学概念通常有三种类型：一是将同一类的本质属性从众多的对象中抽象出来，形成一个具有相同特性的概念，称之为属性下的概念，像函数等都是属性下的概念；二是要对研究的对象建立一个规则，才能圆满解决问题，像这样通过建构规则形成的概念，称之为规则下的概念，像数轴、平面直角坐标系等都是规则下的概念；三是有一些概念往往通过概念作为网络，结点与更多的数学内容建立更广泛的联系，这种在结点上形成的概念称为结点下的概念，比如平行四边形、矩形等。每一种类型概念因特征不同教学方法也迥异。

三、  我的教学反思

规则下的概念教学以《数轴》为例

《数学课程标准》：能用数轴上的点表示有理数，初步向学生渗透数形结合的数学思想。数轴不仅是学生学习相反数、绝对值、实数等知识的工具，而且也是后续学习不等式、不等式组、平面直角坐标系等知识的基础。

2013年《数轴》的设计：

(一)             创设情景 引入新知：用温度计引出数可以用线上的点表示；

(二)             合作交流 探究新知：教师给出数轴的概念；

(三)             动手动脑 学用新知：学生在数轴上描点或画数轴等相关练习。

自我诊断：概念教学走过场，以“学生会做题”为目的的解题教学代替概念教学，只注重概念的应用忽视概念的生成。

1.  忽视学生理解有理数可以用数轴上的点表示的难度；

2.  教师对于数轴概念中“规定”一词所反映的数学思想方法理解有限。

改进策略：

1.《标准》指出：不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发。数学及教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识基础之上。针对忽视学生理解有理数可以用数轴上的点表示的难度，利用数轴的背景引入重点着墨策略：引领学生回忆“点动成线”知识并联想生活中的实例：下雨的水珠、公交车车厢内的循环广告点阵组成文字等生活现象充分体会点与线的关系；引领学生体会直线上有无数多个点，这些点既包括表示整数的、还包括表示分数点（包括有限小数和无限循环小数）；还有一些点没有找到对应的数字，为实数做铺垫。

2.在给出数轴的概念之前设计“建规则”的活动。学生在建构规则的过程中一定会被迫考虑正方向、单位长度、原点三要素，从而体会其存在的必要性，交流过程中会发现每个人的规定不同（正负方向的指向、单位长度的长短、原点的位置等）因此体会规定的任意性，学生经历这个看起来与考试无关的过程，事实上这样的经历让学生真正理解数轴的意义，才能胸有成竹的应对看似变化多端而实际本质不变的题目，因此它不仅与考试有关，更与人的成长有关，它是一个人的核心素养的行为展现。这样更改后的教学设计让学生自主的建构规则，制定标准，培养孩子从“执行标准”上升到“制定标准”，确实在教学中让数学的核心素养落地。

结点下的概念以《正方形性质的应用》中“正方形”概念为例

结点下数学概念的教学则遵循结点下概念教学的关键：将这些概念与其他概念进行耦合链接，让概念连成线、结成网、形成逻辑体系。所以在这节课中利用几何画板动态演示功能，学生动手操作，体会正方形由矩形、菱形分别演变为正方形的过程，再经历观察、思考、抽象、概括、交流的过程，得到正方形的概念。章建跃老师也曾提到“概念教学的核心是概括”，即：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析个实例的属性、抽象概括共同本质属性，即归纳得出数学概念。对于属性下的概念教学，“概括”的功能体现的更加淋漓尽致，此处不以实例说明。在经历了这样的概念学习过程，学生的抽象（概括）、逻辑推理等能力慢慢得到训练与提升。我渐渐觉得这才是数学本质的一部分。

概念及其蕴含的思想方法才是根本大法，解题技巧无法穷尽，教技巧的结果可能就是“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”。因此为提升数学教学效果，还应提升教师自身对数学、对学生、对教学的理解，只有教师理解所教内容蕴含的数学思想方法，理解学生的认知水平，才能在最近发展区设计教学，也才能将数学核心素养如春雨般“润物无声”地溶解在每一节课，甚至是每一次师生互动中。而对于数学的概念教学，让学生养成从基本概念出发思考问题、解决问题的习惯，训练学生加强概念的联系性、从概念的联系中寻找解决问题的新思路。以上这些虽然我刚刚学习到、意识到，但庆幸的是我认识到了这个问题，在今后的教学中我将继续努力，立足教学内容所蕴含的数学核心素养，依据学生的最近发展区设计教学，将核心素养的培养落实。