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论举一隅而三隅反

   今天阅读《数学基本思想18讲》之演绎推理的表达:数学证明的方法。内容涉及中国古代数学家朱世杰(1249-1314)著《四元玉鉴》问题。

问题:今有圆锥垛,果子积九百三十二个,问高几层?答曰:十五层。

术曰:立天元一为层数。如积求之,得七千四百五十五为益实,二为从方,三为从廉,二为正隅。立方开之,合问。

这个问题是说:把圆的果实堆垒成圆锥垛,现在堆垒了932个果实,问堆垒了多少层?答案是15层。

作为一名数学教师,我对此问题很感兴趣,需要借助译文“天元一”是未知数,“积”是总数,“益实”是常数项,“从方”是一次项系数,“从廉”是二次项系数,“正隅”是三次项系数。具体就是设层数为x,于是可得方程:44.png,求其解为15.

翻看相关文献,朱世杰的四元术是这样的:令常数项居中,然后立天元一于下,地元一于左,人元一于右,物元一于上。也就是,用天、地、人、物来表示4个未知数。

如:方程:55.png可以表示成下列图表:

        

66.png



朱世杰不仅给出了这种图表的四则运算法则,还发明了“四元消法”,可以依次消元,最后只剩一个未知数,从而求得方程的解。

越读越觉得语言的简洁、美妙。随即的问题是,为什么这么简洁的解法没有广为流传。史宁中教授给出答案《四元玉鉴》没有讨论一般的情况,所以也没有一般的结果。在中国古代数学研究中普遍存在就一般情况不讨论,分析原因:一方面因为中国古代没有一般性思考问题的习惯,但更主要的是人们没有建立合适的数学符号表达系统。这或许和中国古代的思维方法有关,推崇学习者的举一反三,许多问题讨论得不尽透彻。

 于是,想到“举一隅不以三隅反”(《论语·第七章·述而篇》),意思是从一件事情类推而知道其它许多事情,比喻善于学习,能够由此及彼。那么我们的数学思维是从一个特殊到两个特殊到三个特殊,就停止了吗?那四个特殊直至一般的情况呢?抽象出合适的数学符号,无论是对数学本身的深入研究,还是对数学知识的传播都是重要的。

 反思我们的教学,是否也存在思维的盲区,值得思考。

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