由“算理与算法”而引发的深度思考

河北省秦皇岛市海港区东华里小学陈呐

 引发我深度思考的导火索是我区数学中年教师优质课评比中，我校刘老师所讲的人教版四年级上册《口算除法》一课。当刘老师宣布她抽到这一课时，当时参加抽课的数学老师中有人说：“这课没啥讲的，十五分钟全能搞定。”回学校后，我们的第一感觉也是“为什么会是这节课！”我们的刘老师并没有泄气，我们统一了思想：这节计算课正是需要我们深入思考的课题。

在对教材、学情的理解、分析中，我们达成一致：学生知道事实不等于真理解。面对学生已经知道“答案”时，我们需要追问：有多少学生知道答案？有多少学生真正理解要学习的内容？这些都是需要我们深思的问题。

学生学习数学时，往往停留在“事实性水平”（对数学知识的理解有这样几个层次：事实性水平、概念性水平、方法性水平、主体性水平）的理解上。在教学中，我们必须辨别出学生的理解所达到的程度，设计恰当活动促进学生对知识的高水平理解。

刘老师以她特有的教法完成了第一次试讲。

第一次试讲后的评课会上，我们就一个问题展开了激烈的争论。

教学片段一：

创设生活情境后解决数学问题：有80个气球，每班分20个。可以分给几个班？

学生脱口而出：80÷20＝4

师问：你是怎样想怎样算的？把你的想法写在本子上。

学生汇报交流：

生1：想20×4＝80，所以80÷20＝4（这种方法很容易理解，没有学生提出质疑。）

生2：想8÷2＝4，所以80÷20＝4

师：你听明白他的想法了吗？不明白可以进行质疑。

生3问:80和20后面的两个零哪去了？

生4问：为什么4后面不加零呢？

生2解释不清，向其他学生求助，但解释的都是模棱两可，没有抓住问题的关键。

老师问学生：80是（ ）个十，20是（ ）个十，8个十里面有（ ）个20，所以8÷2＝4，80和20后面的零可以同时遮住不看，算8÷2＝4则80÷20＝4。

刘老师第一次试讲时，这一环节处理得不是很成熟。课后评课时，老师们都觉得这个环节处理得欠火候，学生没有真正理解80÷20＝4的算理。而往往在我们平时的课堂上，也是重视算法，忽视了算理的探究，只满足于口算正确，不愿花时间去分析学生的思维过程，也就是“重结果，轻过程。”

我们说，什么叫算理？什么叫算法？这是进行口算教学必须首先搞明白的问题。算理就是计算过程中的道理，解决“为什么这样算”的问题。算法就是计算方法，解决“怎样算”的问题。

那么如何解决“8÷2＝4，则80÷20＝4”这一问题呢？教师能做的，就是提供有价值的问题或任务同时渗透恰当的数学思想方法，促进学生的思维投入，而不是把现成的知识灌输给学生。经过评课组的反复讨论和思维碰撞，在第二次试讲中，刘老师进行了新的处理和尝试。

教学片段二：

汇报80÷20怎样想怎样算的，学生还是想到了：因为8÷2＝4所以80÷20＝4。教师追问：本来算80÷20，怎么又去算8÷2呢？谁来解释解释？

当学生解释不清或为了加深理解，刘老师课件演示：

 师问：这是多少？（出示一条10个的正方形）80就是这样的几份？（出示8条正方形），就是8个（十）。20就是这样的（2）份，（将最左边的两条用红线圈起来）是2个（十），8个十里面有（4）个2个十。（圈出4份）算80÷20都以“十”为单位，单位相同，可以把80末尾的一个零和20末尾的一个零同时遮住不看，就变成了8÷2。因为8个十÷2个十＝4，所以80÷20＝4。

边说边板书：80÷20＝4

        想：8个十÷2个十＝4

通过图形，将80÷20计算的算理清晰地表达了出来——8个十÷2个十。如果没有这个图形的演示，学生对于算理的分析靠“想象”获得，在没有掌握知识的时候，其实就是“高度的抽象”。这也是第一次试讲学生没能理解为什么“8÷2＝4，所以80÷20＝4”的原因。用图形帮助学生理解算理，是突破教学难点的有效策略，同时也帮助学生构建了数学模型，即当学生遇到新的数学问题，如果从“为什么”（算理的理解）层面不能自圆其说的时候，能够想到“画图试试”。画出的图形（线段图、平面图、立体图等）其实就是数学模型图。

后面的教学刘老师没有只停留在解决80÷20＝4的问题上，而是及时分析学生的错误成因，适时介入，并根据学生的不同情况展开了进一步的探究和延伸。

教学片段三：

    明白了80÷20＝4的算理之后，教师又问：800÷200＝？

引导学生理解：800就是8个（百），200是2个（百），都以“百”为单位，单位相同。板书：800÷200

                        8个百÷2个百

 把800末尾的2个零和200末尾的2个零同时遮住不看，就变成了8÷2。因为8÷2＝4，所以800÷200＝4。

师追问：8000÷2000呢？（生说等于4）为什么？你能继续再往下说吗？

生：80000÷20000＝4

    800000÷200000＝4

    ……

在后面的练习中，刘老师专门设计了这样一道题：

算一算，想一想

9÷3=                            900÷30=

90÷30=                         9000÷300=

    900÷300=

9000÷3000=

  在“900÷30、9000÷300”的问题解决中，学生能够正确运用“遮零”的计算方法，解决这一类问题。

回过头来再看《口算除法》这节课的教学，我们是否可以这样理解：最初，学生在口算时，可能有算法而不知算理；后来，知算法而且知算理；再后来，又是有算法无算理。也就是说，在学生学习口算探索与掌握算法的不同时段，他们计算时是否具有算理，经历了“无——有——无”这样一个过程。但我们要清楚地认识到：有算法时，不一定能说清算理；而有算理时，可以转化成算法。这也是学生在理解算理的基础上计算像“900÷30、9000÷300”这样的题目，而不停留于“照葫芦画瓢”式的模仿计算的原因所在。刘老师课堂时间主要用于两个部分：一是作为学习主体的每个学生独立地观察、尝试、交流；二是师生、生生间围绕学习目标多向互动。课堂中，学生除了习得口算除法计算方法“是什么”与“为什么”外，还获得了一种丰富的过程体验。

综上所述：算理不是没有用，而是教师在教学中是否发挥其作用。不要把算理、算法作为“两张皮”。算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度。算理往往是隐性的，算法往往是显性的，它们相辅相成，算理的探讨有助于学生探索算法、掌握算法。当然，在口算学习过程中，也要注意避免程式化地叙述算理，对算理的一味推崇容易让学生陷入空洞抽象说教的泥潭，不过，对算法的过度操练也容易让学生走向机械重复练习的窠臼。科就

作为学生数学学习初始阶段的小学数学，除了重视数学概念、法则、公式、性质等显性的知识教学，更应该让学生进行深度思考，重视数学意识、数学思想方法、数学思维方式等数学素养的培养，使数学学习给学生留下意识、思想、经验、习惯、快乐，为学生的后续学习和可持续发展奠定基础。